개발자를 위한 수학

01 / Discrete Mathematics

이산수학 — 알고리즘의 수학적 기반

논리학, 집합론, 귀납법, 그래프 이론. 코드를 증명하고 최적화하는 언어입니다.

드모르간 법칙

DE MORGAN'S LAW · 조건문 최적화

NOT(A AND B)는 (NOT A) OR (NOT B)와 동치입니다. 복잡한 조건문을 단순화할 때 핵심 도구가 됩니다.

드모르간 제1법칙

¬(A ∧ B) ≡ (¬A) ∨ (¬B)

드모르간 제2법칙

¬(A ∨ B) ≡ (¬A) ∧ (¬B)

▸ 진리표 인터랙티브

A	B	A∧B	¬(A∧B)	¬A∨¬B	동치?

// Swift: 드모르간 적용 전
if !(isLoggedIn && hasPermission) { ... }

// 드모르간 적용 후 (더 읽기 쉬움)
if !isLoggedIn || !hasPermission { ... }
        

집합론

SET THEORY · Swift Set API 연결

∩

합집합, 교집합, 차집합은 Set 자료구조의 수학적 기반입니다. iOS의 Set API가 왜 이런 메서드를 갖는지 이해할 수 있습니다.

▸ Venn 다이어그램 — 연산 선택

let A: Set = [1, 2, 3, 4]
let B: Set = [3, 4, 5, 6]

A.union(B)         // {1,2,3,4,5,6} — 합집합
A.intersection(B)  // {3,4}         — 교집합
A.subtracting(B)   // {1,2}         — 차집합
        

수학적 귀납법

MATHEMATICAL INDUCTION · 재귀 정확성 증명

∀

재귀 함수가 올바른지 증명하는 방법입니다. 기저 조건이 base case이고, 귀납 단계가 recursive step입니다.

1부터 n까지 합

1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2

▸ 귀납 증명 단계 — n을 선택하세요

n 값 4

// 재귀 함수 — 귀납법 구조와 동일
func sum(_ n: Int) -> Int {
  guard n > 0 else { return 0 }  // Base case
  return n + sum(n - 1)           // Inductive step
}
        

그래프 이론

GRAPH THEORY · BFS / DFS

⬡

BFS와 DFS는 그래프 탐색의 두 가지 전략입니다. BFS는 큐, DFS는 스택(or 재귀)로 구현됩니다.

▸ BFS / DFS 시각화

시작 노드

방문 완료

큐/스택

미방문

02 / Linear Algebra

선형대수 — 그래픽스와 ML의 언어

행렬은 변환을 합성하는 수단입니다. ARKit, SceneKit, CoreML 모두 이 언어로 동작합니다.

벡터 연산

VECTORS · 방향과 크기

→

벡터는 방향과 크기를 가진 양입니다. 내적(dot product)은 두 벡터의 유사도, 외적(cross product)은 법선 벡터 계산에 사용됩니다.

내적 (Dot Product)

a⃗ · b⃗ = |a||b|cos θ = a₁b₁ + a₂b₂

▸ 벡터 시각화 — 슬라이더로 조작

A 각도 30°

B 각도 120°

내적: 0.00 각도: 0° 유사도: -

// SceneKit — 두 노드 사이 방향 벡터
import SceneKit

let from = SCNVector3(0, 0, 0)
let to   = SCNVector3(3, 4, 0)
let dir  = normalize(to - from)  // 단위 벡터
let dist = length(to - from)      // 크기 = 5.0
        

변환 행렬

TRANSFORMATION MATRIX · ARKit / SceneKit

⊞

이동·회전·스케일은 행렬 곱셈으로 합성됩니다. ARKit의 simd_float4x4가 바로 이 변환 행렬입니다.

▸ 2D 변환 인터랙티브

회전 θ 0°

스케일 s 1.0×

이동 tx 0

// ARKit — 변환 행렬 읽기
let transform = anchor.transform  // simd_float4x4

let position = SCNVector3(
  transform.columns.3.x,
  transform.columns.3.y,
  transform.columns.3.z
)
        

CoreML과 행렬 연산

MATRIX MULTIPLICATION · Neural Networks

⊗

신경망의 각 레이어는 행렬 곱셈입니다. 입력 벡터 × 가중치 행렬 + 편향이 모든 레이어의 기본 연산입니다.

레이어 연산

y = f(Wx + b)

▸ 행렬 곱셈 단계별 시각화

// Swift — 행렬 곱 (Accelerate 프레임워크)
import Accelerate

cblas_sgemm(CblasRowMajor, CblasNoTrans, CblasNoTrans,
  m, n, k, 1.0, &W, k, &x, n, 0.0, &result, n)
// CoreML은 내부적으로 이 연산을 GPU에서 수행
        

행렬식과 고유값

DETERMINANT & EIGENVALUES · PCA의 수학

행렬식(det)은 선형 변환이 공간을 얼마나 늘리거나 줄이는지 나타냅니다. 고유값·고유벡터는 PCA와 추천 시스템의 핵심입니다.

2×2 행렬식

det(A) = ad − bc

▸ 행렬식 계산기

let det = a*d - b*c
if det == 0 {
  // 역행렬 없음 — 특이 행렬 (singular matrix)
} else {
  // 역행렬 존재 — CoreML 역변환 가능
}
        

03 / Probability & Statistics

확률과 통계 — 데이터 기반 의사결정

A/B 테스트의 신뢰도, 추천 알고리즘의 근거, 수익 모델 계산. 모두 확률이 기반입니다.

베이즈 정리

BAYES' THEOREM · 추천 / 스팸 필터

∝

사전 지식(prior)을 새 증거로 업데이트하는 방법입니다. 스팸 필터, 추천 시스템, 의료 진단의 수학적 토대입니다.

베이즈 정리

P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

▸ 스팸 필터 시뮬레이터

이메일에 특정 단어가 있을 때 스팸일 확률을 계산합니다.

P(스팸) 30%

P(단어|스팸) 80%

P(단어|정상) 10%

P(스팸 | 단어 있음)

P(정상 | 단어 있음)

// 나이브 베이즈 분류기 (간략 버전)
func isSpam(words: [String]) -> Bool {
  var score = log(priorSpam)
  for word in words {
    score += log(likelihood[word] ?? 0.01)
  }
  return score > threshold
}
        

A/B 테스트 유의성

STATISTICAL SIGNIFICANCE · Z-test

≠

A와 B 그룹의 전환율 차이가 우연인지, 통계적으로 유의미한 차이인지 Z-검정으로 판단합니다. p < 0.05가 기준입니다.

▸ A/B 검정 계산기

그룹 A (현재)

5.00%

그룹 B (변형)

7.00%

Z-score

let p1 = Double(aConv) / Double(aN)
let p2 = Double(bConv) / Double(bN)
let pPool = (aConv + bConv) / Double(aN + bN)
let z = (p2 - p1) / sqrt(pPool * (1-pPool) * (1/aN + 1/bN))
// |z| > 1.96 → 95% 신뢰수준에서 유의미
        

기댓값과 수익 모델

EXPECTED VALUE · LTV / ARPU 계산

𝔼

기댓값은 각 결과의 확률 가중 평균입니다. 앱의 LTV(Lifetime Value)와 ARPU(평균 수익)를 수학적으로 계산하는 기반입니다.

기댓값

𝔼[X] = Σ xᵢ · P(xᵢ)

▸ 앱 수익 모델 기댓값

구독 티어별 비율을 조정하여 예상 ARPU를 계산하세요.

기댓값 (월 ARPU)

₩0

let tiers: [(price: Double, prob: Double)] = [
  (0,     0.70),  // 무료 70%
  (3900,  0.20),  // 라이트 20%
  (9900,  0.08),  // 스탠다드 8%
  (19900, 0.02),  // 프로 2%
]
let arpu = tiers.reduce(0) { $0 + $1.price * $1.prob }
        

정규분포와 표준편차

NORMAL DISTRIBUTION · 성능 분석

앱의 응답 시간, 사용자 세션 길이, 로딩 속도는 대부분 정규분포를 따릅니다. σ(표준편차)로 성능의 일관성을 측정합니다.

정규분포 PDF

f(x) = 1/(σ√2π) · e^(−(x−μ)²/2σ²)

▸ 앱 응답시간 분포 시뮬레이터

평균 μ (ms) 200ms

표준편차 σ 40ms

let mu: Double = 200   // 평균 200ms
let sigma: Double = 40  // 표준편차 40ms
let p95 = mu + 1.645 * sigma  // ≈ 265.8ms
let p99 = mu + 2.326 * sigma  // ≈ 293.0ms
        